四道分解因式①a2 10a 25 ②m2-12mn 36n2 ③xy3-2x2y2 x3y ④（x2 4y2）2-16x2y2四道分式化简例1 化简分式30道分式方程及解答： 分析 直接通分计算较繁,先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式,再化简将简便得多． ＝［(2a 1) – (a – 3) – (3a 2) (2a – 2)］ 说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式． 例2 求分式 当a=2时的值． 分析与解 先化简再求值．直接通分较复杂,注意到平方差公式： a2 – b2=(a b)(a – b), 可将分式分步通分,每一步只通分左边两项． 例3 若abc=1,求 分析 本题可将分式通分后,再进行化简求值,但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 解法1 因为abc=1,所以a,b,c都不为零． 解法2 因为abc=1,所以a≠0,b≠0,c≠0． 例4 化简分式： 分析与解 三个分式一齐通分运算量大,可先将每个分式的分母分解因式,然后再化简． 说明 互消掉的一对相反数,这种化简的方法叫“拆项相消”法,它是分式化简中常用的技巧． 例5 化简计算(式中a,b,c两两不相等)： 似的,对于这个分式,显然分母可以分解因式为(a – b)(a – c),而分子又恰好凑成(a – b) (a – c),因此有下面的解法． 解 说明 本例也是采取“拆项相消”法,所不同的是利用 例6 已知：x y z=3a(a≠0,且x,y,z不全相等),求 分析 本题字母多,分式复杂．若把条件写成(x – a) (y – a) (z – a)=0,那么题目只与x – a,y – a,z – a有关,为简化计算,可用换元法求解． 解 令x – a=u,y – a=v,z – a=w,则分式变为 u2 v2 w2 2(uv vw wu)=0． 由于x,y,z不全相等,所以u,v,w不全为零,所以u2 v2 w2≠0,从而有 说明 从本例中可以看出,换元法可以减少字母个数,使运算过程简化． 例7 化简分式： 适当变形,化简分式后再计算求值． (x – 4)2=3,即x2 – 8x 13＝0． 原式分子=(x4 – 8×3 13×2) (2×3 – 16×2 26x) (x2 – 8x 13) 10 =x2(x2 – 8x 13) 2x(x2 – 8x 13) (x2 – 8x 13) 10 =10, 原式分母=(x2 – 8x 13) 2=2, 说明 本例的解法采用的是整体代入的方法,这是代入消元法的一种特殊类型,应用得当会使问题的求解过程大大简化． 解法1 利用比例的性质解决分式问题． (1)若a b c≠0,由等比定理有 所以 a b – c=c,a – b c=b, – a b c=a, 于是有 (2)若a b c=0,则 a b= – c,b c= – a,c a= – b, 于是有 说明 比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时,灵活巧妙地使用,便于问题的求解． 解法2 设参数法．令 则 a b=(k 1)c,① a c=(k 1)b,② b c=(k 1)a．③ ① ② ③有 2(a b c)=(k 1)(a b c), 所以 (a b c)(k – 1)=0, 故有k=1或 a b c=0． 当k=1时, 当a b c=0时, 说明 引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件,可使已知条件便于使用．练习四 1．化简分式： 2．计算： 3．已知： (y – z)2 (z – x)2 (x – y)2 =(x y – 2z)2 (y z – 2x)2 (z x – 2y)2, 的值．分式方程 甲、乙、丙三个数字一次大1,若丙数的倒数的两倍与乙数的倒数之和与甲数的倒数的三倍相等,求甲、乙、丙 第一道：设甲=x,乙=（x 1）,丙=（x 2）2/(x 2) 1/(x 1)=3/x2x² x x² 2x=x² 3x 2 x²=1 x=1或-1 ∵乙的倒数=1/(x 1) ∴x≠-1 ∴x=1一个两位数的个位上的数为7,若把个位数字与十位数字对调,那么所得的两位数与原两位数的比值为8：3,求原两位数第二道 设原两位数十位上数字为X (10X 7)/(70 X)=3/8 3(70 X)=8(10X 7) 210 3X=80X 56 77X=154 X=2 所以原两位数为27 一艘轮船从A港口向B港口行驶,以在本航线航行时的常规速度走完全程的5分之3,此后航速减小了10海里每小时,并以此速度一直行驶到B港口。
这样,本次航行减速后行驶所用的时间和未减速时行驶所用的时间相同。这艘轮船在本航线的常规速度是多少? 第三道艘轮船在本航线的常规速度是x3/5÷x=(1-3/5)÷(x-10)3(x-10)=2xx=30这艘轮船在本航线的常规速度是30海里每小时甲乙两地相距125千米,从甲地到乙地,有人乘车,有人骑自行车,自行车比汽车早出发4小时,晚到1/2小时,已知骑车的速度与乘车的速度之比为2：5,求自行车与汽车的速度各式多少?设自行才的速度为x千米/小时,则乘车速度为5x/2千米/小时则乘车所所花时间为：125÷5x/2=50/x则有方程：125/x-50/x=4。
5（根据骑车和乘车的时间差）解得x=50/3千米/小时则汽车速度为：5/2*50/3=125/3千米/小时某车队计划t天运送m吨货物,如果已经运送了其中的n吨,（n小于m）则运完剩下货物需要的天数t1=__,平均每天运出货物的吨数a=____每天运货物量为：m/t则运完剩下的货物需要天数为：（m-n）÷m/t=（m-n）*t/ma=m/t轮船顺水航行80km所需时间和逆水航行60km所需时间相同,已知水流的速度是3km/h,求轮船在静水中的速度 设轮船在静水中速度为x,则顺水速度为：x 3逆水速度为：x-3则有：80/（x 3）=60/（x-3）解方程得：x=21km/h某点3月份购进一批T恤衫,进价合计是12万元。
因畅销,商店又于4月份购进一批相同的T恤衫,进价合计是18。75万元,数量是3月份的1。5倍,但买件进价涨了5元,这两批T恤衫开始都以180元出售,到5月初,商店把剩下的100件打8折出售,很快售完,问商店供获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元? 设3月份每件进价为X元,则4月份每件进价为X 5元所以（12*10000/X）*（3/2）*（X 5）=18。
75*10000得X=120元且总进衣服 （12*10000/X）*5/2=2500件总收入=2400*180 100*180*80%=446400元所以毛利润=446400-120000-187500=138900元 /2x=2/x 3x/x 1=2x/3x 3 12/x-1=4/x^2-15/x^2 x – 1/x^-x=0 1/2x=2/x 3 对角相乘4x=x 33x=3x=1分式方程要检验经检验,x=1是方程的解x/(x 1)=2x/(3x 3) 1 两边乘3(x 1)3x=2x (3x 3)3x=5x 32x=-3x=-3/2分式方程要检验经检验,x=-3/2是方程的解2/x-1=4/x^2-1 两边乘(x 1)(x-1)2(x 1)=42x 2=42x=2x=1分式方程要检验经检验,x=1使分母为0,是增根,舍去所以原方程无解5/x^2 x – 1/x^2-x=0两边乘x(x 1)(x-1)5(x-1)-(x 1)=05x-5-x-1=04x=6x=3/2分式方程要检验经检验,x=3/2是方程的解 1/2x=2/x 3 对角相乘 4x=x 3 3x=3 x=1 分式方程要检验 经检验,x=1是方程的解 x/(x 1)=2x/(3x 3) 1 两边乘3(x 1) 3x=2x (3x 3) 3x=5x 3 2x=-3 x=-3/2 分式方程要检验 经检验,x=-3/2是方程的解 2/x-1=4/x^2-1 两边乘(x 1)(x-1) 2(x 1)=4 2x 2=4 2x=2 x=1 分式方程要检验 经检验,x=1使分母为0,是增根,舍去 所以原方程无解 5/x^2 x – 1/x^2-x=0 两边乘x(x 1)(x-1) 5(x-1)-(x 1)=0 5x-5-x-1=0 4x=6 x=3/2 分式方程要检验 经检验,x=3/2是方程的解 5x/(3x-4)=1/(4-3x)-2 乘3x-4 5x=-1-2(3x-4)=-1-6x 8 11x=7 x=7/11 分式方程要检验 经检验 x=7/11是方程的解 1/(x 2) 1/(x 7) = 1/(x 3) 1/(x 6) 通分 (x 7 x 2)/(x 2)(x 7)=(x 6 x 3)/(x 3)(x 6) (2x 9)/(x^2-9x 14)-(2x 9)/(x^2 9x 18)=0 (2x 9)[1/(x^2-9x 14)-1/(x^2 9x 18)]=0 因为x^2-9x 14不等于x^2 9x 18 所以1/(x^2-9x 14)-1/(x^2 9x 18)不等于0 所以2x 9=0 x=-9/2 分式方程要检验 经检验 x=-9/2是方程的解 7/(x^2 x) 1/(x^2-x)=6/(x^2-1) 两边同乘x(x 1)(x-1) 7(x-1) (x 1)=6x 8x-6=6x 2x=6 x=3 分式方程要检验 经检验,x=3是方程的解 化简求值。
[X-1-（8/X 1）]/[X 3/X 1] 其中X=3-根号2 [X-1-（8/X 1）]/[(X 3)/(X 1)] ={[(X-1)(X 1)-8]/(X 1)}/[(X 3)/(X 1)] =(X^2-9)/(X 3) =(X 3)(X-3)/(X 3) =X-3 =-根号2 8/(4x^2-1) (2x 3)/(1-2x)=1 8/(4x^2-1)-(2x 3)/(2x-1)=1 8/(4x^2-1)-(2x 3)(2x 1)/(2x-1)(2x 1)=1 [8-(2x 3)(2x 1)]/(4x^2-1)=1 8-(4x^2 8x 3)=(4x^2-1) 8x^2 8x-6=0 4x^2 4x-3=0 (2x 3)(2x-1)=0 x1=-3/2 x2=1/2 代入检验,x=1/2使得分母1-2x和4x^2-1=0。
舍去 所以原方程解:x=-3/2 (x 1)/(x 2) (x 6)/(x 7)=(x 2)/(x 3) (x 5)/(x 6) 1-1/(x 2) 1-1/(x 7)=1-1/(x 3) 1-1/(x 6) -1/(x 2)-1/(x 7)=-1/(x 3)-1/(x 6) 1/(x 2) 1/(x 7)=1/(x 3) 1/(x 6) 1/(x 2)-1/(x 3)=1/(x 6)-1/(x 7) (x 3-(x 2))/(x 2)(x 3)=(x 7-(x 6))/(x 6)(x 7) 1/(x 2)(x 3)=1/(x 6)(x 7) (x 2)(x 3)=(x 6)(x 7) x^2 5x 6=x^2 13x 42 8x=-36 x=-9/2 经检验,x=-9/2是方程的根。
(2-x)/(x-3) 1/(3-x)=1 (2-x)/(x-3)-1/(x-3)=1 (2-x-1)/(x-3)=1 1-x=x-3 x=2 分式方程要检验 经检验,x=2是方程的根。
